Deprecated(2017.03.30)

对于Unidirectional Path Tracing的理解是建立在Path Tracing之上

本文用于记录当前阶段对于Path Tracing的理解。此笔记的问题来源于，对于Path Tracing使用Direct Lighting的疑惑。

很多教材上提到了渲染方程

$L_o(p,\vec{w_o}=L_e(p,\vec{w_o})+\int_{2\pi}f_r(p,\vec{w_i},\vec{w_o})L_i(p,\vec{w_i})cos\theta_i d\omega_i$

然后紧接着说到，我们将此方程改写成直接光照部分和间接光照部分，比如Advanced Global Illumination，问题出在，当真正遇到代码实现的时候，压根找不到间接光的部分，不论是BDPT还是PT都无法直观的理解到间接光的部分。或者说不清楚间接光在代码中的体现。

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下图是帮助理解的核心

关键部分就是间接光照 = 反射光照，这从根本上解释了间接光照的含义就是从其他位置处反射的光照，而非从光源上。

假定所有表面都不自发光，也就是$L_e(p,\vec{w_i})=0$，那么定义X位置处上的入射辐射度为$L_x$，直接光照部分记为$D_x$，间接光照/反射光照部分记为$R_x$，BRDF项记为$f_{rx}$

$\begin{array}{ccc}{L}_x& =& f_{rX}\ast (D_X+R_X)\\ & =& f_{rX}\ast (D_X+f_{rA}\ast (D_A+R_A\left)\right)\\ & =& f_{rX}\ast (D_X+f_{rA}\ast (D_A+f_{rB}\ast (D_B+R_B)\left)\right)\\ & =& f_{rX}\ast (D_X+f_{rA}\ast (D_A+f_{rB}\ast (D_B+f_{ri}\ast (\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\left)\right)\left)\right)\end{array}$
\begin{array}{l}
L_x &=& f_{rX}(D_X+R_X)
\ &=& f_{rX}(D_X+f_{rA}(D_A+R_A))
\ &=& f_{rX}(D_X+f_{rA}(D_A+f_{rB}(D_B+R_B)))
\ &=& f_{rX}(D_X+f_{rA}(D_A+f_{rB}(D_B+f_{ri}(…))))
\end{array}

也就是

$L_o(p,\vec{w_o})=\int_{2\pi}f_r(p,\vec{w_i},\vec{w_o})(Le(rc(p,\vec{w_i},-\vec{w_i})+Lr(rc(p,\vec{w_i}),-\vec{w_i})))cos\theta_i d\omega_i$

这里$L_e$项表示emitted radiance，因为其他表面没有自发光项，因此就是光源部分的辐射度贡献，即直接光照direct illumination部分；$L_r$项表示reflected radiance，也就是间接光照indirect ilumination。

根据无穷积分的定义，也可以改写为

$\begin{array}{ccc}{L}_o(p,\overrightarrow{w_o})& =& {\int }_{2\pi }{f}_r(p,\overrightarrow{w_i},\overrightarrow{w_o})Le\left(rc\right(p,\overrightarrow{w_i},-\overrightarrow{w_i})cos{\theta }_{i}d{\omega }_i\\ & +& {\int }_{2\pi }{f}_r(p,\overrightarrow{w_i},\overrightarrow{w_o})Lr\left(rc\right(p,\overrightarrow{w_i}),-\overrightarrow{w_i})\frac{cos{\theta }_{i}cos{\theta }^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{p}^{\mathrm{\prime }}-p\mathrm{\mid }{\mathrm{\mid }}^2}V(p,p^{\mathrm{\prime }})dA\end{array}$
\begin{array}{l}
L_o(p,\vec{w_o}) &=& \int_{2\pi}f_r(p,\vec{w_i},\vec{w_o})Le(rc(p,\vec{w_i},-\vec{w_i})cos\theta_i d\omega_i
\ &+& \int_{2\pi}f_r(p,\vec{w_i},\vec{w_o})Lr(rc(p,\vec{w_i}),-\vec{w_i})\frac{cos\theta_i cos\theta'}{||p'-p||^2}V(p,p')dA
\end{array}

右边的$V(p',p)$项就是shadowRay计算是否可视的结果

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所谓的最简单的递归形式的Path Tracing本质上是对渲染方程的另一种解读，可以想象有以下光路

假定光路上任意点$p_i$的$BRDF(p)cos\theta_i$乘积定义为$Q_i$，若光源上出射辐射度为$L_i$

那么$L_o(p,\vec{w_o})=L_i$ Q_D Q_C Q_B Q_A

回想伪代码实现

for i : spp

    new ray()

    Li += li(ray, scene) / spp

end

等价于

$\begin{array}{ccc}{L}_o(p,\overrightarrow{w_i},\overrightarrow{w_o})& =& (Li\ast Q_D\ast Q_C\ast Q_B\ast Q_A\\ & +& Li\ast Q_E\ast Q_C\ast F_B\ast Q_G\\ & +& Li\ast Q_H\ast Q_I\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})\\ & \ast & \frac{1}{spp}\end{array}$
\begin{array}{l}
L_o(p,\vec{w_i},\vec{w_o}) &=& (LiQ_DQ_CQ_BQ_A
\ &+& LiQ_EQ_CF_BQ_G
\ &+& LiQ_HQ_I…)
\ &*& \frac{1}{spp}
\end{array}

这一计算式本身就是$\int_{2\pi}f_r(p,\vec{w_i},\vec{w_o})L_i(p,\vec{w_i})cos\theta_idw_i$的蒙特卡洛近似实现了

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结论

本身递归形式和增量循环形式的Path tracing本身都是一种渲染方程的实现方式，并无差错之分。但前者的问题在与光路击中光源的概率太低的时候，比如场景中只有点光源时那么结果会是一片黑。因此在实现效果上考虑了直接光采样的Path Tracing会更胜一筹。